Quadratische Funktionsgleichungen in der Scheitelform

Eine Funktionsgleichung für das Verschieben, Formen und Spiegeln einer Parabel im kartesischen Koordinatensystem.

Verschieben in y-Richtung

© Frank Schumann 2014

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Was Sie hier lernen können:

• wie man eine Gleichung für eine Tangente an der Stelle x_0 bestimmen kann.

Im Lernvideo wird die allgemeine Gleichung einer Tangente t zu einer differenzierbaren Funktion f an der Stelle x_0 hergeleitet. Ein Rechenbeispiel verdeutlicht die Anwendung dieser allgemeinen Tangentengleichung.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

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Was Sie hier lernen können:

• wie man einen Differenzenquotienten an der Stelle x₀ aufstellt und für eine nachfolgende Grenzwertbetrachtung für h gegen null umformt
• wie man aus dem Differenzenquotienten eine Vermutung für die Ableitung einer Funktion an der Stelle x₀ gewinnen kann.

Im Lernvideo werden Übungen am Differenzenquotienten zur Berechnung der Ableitung f Strich von x₀ exemplarisch angeleitet.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

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Was Sie hier lernen können:

• wie man einen Punkt mit zwei Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem zeichnen kann (Wiederholung)
• wie man einen Punkt mit drei Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem zeichnen kann
• wie man den Abstand eines Punktes P zum Ursprung 0 eines rechtwinkligen Koordinatensystems rechnerisch bestimmen kann.

Im Lernvideo wird die Lage eines Raumpunktes P in einem x-y-z-Koordinatensystem beschrieben. Zusätzlich zu den Erläuterungen im Lehrbuch zum Zeichnen von Punkten mit drei Koordinaten auf Papier unterstützt dieses Video die 3D-Darstellung von Punkten und Strecken im Raum durch verschiedenartige Perspektivwechsel in GeoGebra. Es folgen Hinweise zur Lösung der Frage: Wie bestimmt man den Abstand eines Raumpunktes P zum Ursprung O des x-y-z-Koordinatensystems?

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra ab Version 5 genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

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Was Du hier lernen kannst:

• wie man ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit dem Einsetzungsverfahren ohne Taschenrechner lösen kann
• wie man eine Probe durchführt
• was man unter einer Lösungsmenge eines LGS versteht
• eine Fallunterscheidung für Lösungsmengen von LGS des Typs (2×2)

Im Lernvideo wird zu Anfang ein LGS vom Typ (2×2) mittels Einsetzungsverfahren ohne Taschenrechner gelöst. Die vermutlich existierende Lösung wird durch eine Probe am LGS bewiesen. Die Lösungsmenge wird notiert. Weitere Arten von Lösungsmengen werden in Geogebra exemplarisch beschrieben. Am Ende folgt eine Übersicht als Zusammenfassung.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra ab Version 5 genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei zum Video (.GGB, 8 KB)
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Was Du hier lernen kannst:

• die Idee des Linearisierens einer Funktion an einer Stelle aus dem Definitionsbereich der Funktion,
• Grenzübergang für den Differenzenquotienten für h gegen null,
• was man unter der Ableitung einer Funktion an einer Stelle aus dem Definitionsbereich versteht,
• was man unter der Tangente einer Funktion an einer Stelle aus dem Definitionsbereich versteht.

Im Lernvideo wird der Begriff der lokalen Steigung einer Funktion, die sich an der Stelle x null unter dem „Graphen-Mikroskop“ linearisieren lässt, durch verschiedene Simulationsexperimente in GeoGebra induktiv erarbeitet. Das Tangentenproblem entwickelt sich aus dem Verschwinden der Sekante für h gegen null (numerische Division durch null!). Es folgt eine Definition für die Ableitung f Strich von x null in einer für Lernende der Klassenstufe 10 angemessenen Fachsprache. Eine exakte Definition für den Grenzübergang des Differenzenquotienten für h gegen null ist auf Grund der eingeschränkten Begriffsbildung didaktisch nicht angebracht.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Die Arbeitsblätter können hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei „Das Tangentenproblem“ zum Video (.GGB, 10 KB)
• Zusatzdatei „Differenzenquotient im CAS“ zum Video (.GGB, 4 KB)
• Zusatzdatei „Beobachtungen unter dem Graphenmikroskop“ zum Video (.GGB, 10 KB)
• Free-Download von GeoGebra



• Buchempfehlung: Eine Einführung in das Tangentenproblem mit dem Voyage 200 – Die beste aller Geraden

Ein Lese- und Arbeitsbuch für Schüler ab Klasse 11, Lehrer und Studenten. Mit vielen Applikationen zum Experimentieren mit dem Voyage 200 (auch für den TI-89 und TI-89 Titanium geeignet).

Was Du hier lernen kannst:

• das Beobachten veränderlicher und konstanter Parameter
• das Beschreiben eigener Beobachtungen
• Eigenschaften von Funktionen und ihren Graphen unter einem „Mikroskop“.

Im Lernvideo (ohne Ton) werden an der Funktion f mit f(x) = 0.1*x² zwei Simulationsexperimente in GeoGebra demonstriert, die das „Erforschen“ zur Linearisierung differenzierbarer Funktionen anschaulich motivieren sollen.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

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Was Du hier lernen kannst:

• Wie man aus einem Proportionalitätsfaktor die passende Funktionsgleichung aufstellt
• Wie man proportionale Funktionen bei der Beantwortung naturwissenschaftlicher Prüffragen nutzen kann.

Im Lernvideo wird eine Aufgabe aus dem Anfangsunterricht Physik besprochen. Es geht dabei um den proportionalen Zusammenhang zwischen Masse und Volumen eines Körpers (homogene Masseverteilung sei vorausgesetzt). Es wird einerseits eine Prüffrage gestellt: Ob ein gemessener Körper aus Aluminium besteht oder nicht und zum anderen um die Erzeugung von Wertepaaren deren Punkte auf dem Graphen einer proportionalen Funktion und somit Körper aus Aluminium repräsentieren. Dabei wird der Aufbau der Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion allgemein formal beschrieben.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

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Was Du hier lernen kannst:

• Was versteht man unter einem Parameter?
• Welchen Einfluss hat der Parameter „Steigung“ auf den Graphen einer linearen Funktion?
• Welchen Einfluss hat der Parameter „Ordinatenabschnitt“ auf den Graphen einer linearen Funktion?

Im Lernvideo werden die beiden Parameter: „Steigung“ und „Ordinatenabschnitt“ linearer Funktionen sowie der Begriff „allgemeine Form linearer Funktionsgleichungen“ eingeführt. Es folgen zwei Aufgaben zur Untersuchung des Einflusses der beiden Parameter m und n auf den Graphen der jeweiligen linearen Funktionen. GeoGebra-Arbeitsblätter unterstützen mit ihren interaktiven Anwendungsmöglichkeiten die Lösungen der beiden experimentellen Aufgaben.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Die Arbeitsblätter können hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei 1 (beide Parameter) zum Video (.GGB, 7 KB)
• Zusatzdatei 2 (Parameter Steigung) zum Video (.GGB, 6 KB)
• Zusatzdatei 3 (Parameter Ordinatenabschnitt) zum Video (.GGB, 6 KB)
• Free-Download von GeoGebra

Im Lernvideo wird diskutiert, wann ein Bild aus einer Zeichnung (Verbinden von gezeichneten Punkten) oder aus einer echten Konstruktion hervorgeht. Die Entstehungsgeschichte von zwei Quadraten wird in GeoGebra ergründet. Dabei zeigt sich, dass das Konstruktionsprotokoll den Nachweis über die einzelnen Konstruktionsschritte liefern kann. Das Lernvideo schließt mit einem Merksatz ab.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Die Arbeitsblätter können hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei 1 (Quadrat No. 1) zum Video (.GGB, 5 KB)
• Zusatzdatei 2 (Quadrat No. 2) zum Video (.GGB, 6 KB)
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Im Video wird eine Anwendungsaufgabe für lineare Zuordnungen ausführlich besprochen. Es geht einerseits um die Suche nach einer Formel nach dem Vorbild des Rechenmodells für lineare Zuordnungen und andererseits um die Berechnung von Kosten mithilfe des in der Formel enthaltenen Terms f(x).

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

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Es wird eine Lehrbuchaufgabe ausführlich besprochen und dafür Geogebra als veranschaulichendes Hilfsmittel verwendet. Weiterhin wird die Aufgabe durch Einführen von Variablen erweitert. Auch dieses Vorgehen wird durch Dynamisierung in Geogebra illustriert.

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Die Bedeutung des Proportionalitätsfaktors wird im Lernvideo am Beispiel der Zuordnung aus Quaderhöhe in Volumen umfassend erläutert. Dabei spielen die Gleichung der Ursprungsgerade und das Steigungsdreieck eine wesentliche Rolle. Ebenso wird erläutert, dass die Abhängigkeit einer Grösse nur durch Verändern einer anderen Grösse demonstriert werden kann. Alle anderen unabhängigen Grössen müssen bei einer Animation konstant gehalten werden.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei 1 zum Video (.GGB, 8 KB)
• Zusatzdatei 2 zum Video (.GGB, 10 KB)
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In diesem Anleitungsvideo geht es um das Lernprojekt „Eigenschaften von Potenzfunktionen“.

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Das Arbeitsblatt aus dem Video kann hier herunter geladen werden:

• PDF-Arbeitsblatt zum Video (.PDF, 587 KB)

Durch ein Simulationsexperiment wird erläutert, was man unter dem Umfang eines Kreises versteht und wie man den Umfang berechnen kann.

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In diesem Video werden weitere Merkmale zur Identifikation antiproportionaler Zuordnungen vorgestellt und erläutert. Es handelt sich dabei um die Merkmale Produktgleichheit, Hyperbel und Gleichung zur Antiproportionalität. Es baut auf mein Lernvideo „Antiproportionale Zuordnung“ auf.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

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In diesem Video werden weitere Merkmale zur Identifikation proportionaler Zuordnungen vorgestellt und erläutert. Es handelt sich dabei um die Merkmale Quotientengleichheit, Ursprungsgerade und Gleichung zur Proportionalität. Es baut auf mein Lernvideo „Proportionale Zuordnung“ auf.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

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Es wird gezeigt, wie man mit Hilfe des Geodreiecks Winkel zwischen 0° und 180° messen kann.

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Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras werden Flächen- und Raumdiagonale im Quader berechnet.

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Es wird in des Modell des Bernoulli-Experimentes eingeführt.

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Reihe: In Mathe einfach besser …
Eine Gleichung dritten Grades lässt sich mit dem Voyage 200 nicht immer symbolisch lösen. Aber es gibt am Rechner Möglichkeiten, mit de
nen man approximierte Lösungen aufzeigen kann. Die vom Rechner gefundenen Näherungslösungen werden anschließend auf verschiedenen Wegen auf ihre Richtigkeit und Bedeutung durch Kontrollrechnungen getestet.
Nach der Rechnerarbeit sind in einer exaktifizierend en Phase die erforderlichen Beweise für die Existenz und Eindeutigkeit der reellen Lösungen unabhängig von allen Rechnerdarstellungen zu führen. Grundlage für die Beweise bilden in unserem folgenden Beispiel Sätze aus Klasse 11, die wir als bekannt voraussetzen dürfen:

• Satz über die Existenz reeller Nullstellen ganzrationaler Funktionen und der
• Nullstellensatz von Bolzano. …

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Zeitschrift: In Mathe einfach besser… Nr. 2/2005 Seiten 2-6.
Verlag: Schumanns Verlagshaus Wertheim 2005.

© Frank Schumann 2005 (vormals Schumanns Verlagshaus Wertheim)

Reihe: In Mathe einfach besser …
Kopiervorlage / Eine Grafisch-numerische Applikation (GNA) für den Voyage 200 und TI-89 Titanium von Texas Instruments.
Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable im Argument von Winkelfunktionen auftritt, heißt goniometrische Gleichung. Aufgabe: Lösen Sie die zwei goniometrischen Gleichungen.

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Zeitschrift: In Mathe einfach besser… Nr. 1/2005 Seiten 10-14.
Verlag: Schumanns Verlagshaus Wertheim 2005.

© Frank Schumann 2006 (vormals Schumanns Verlagshaus Wertheim)

Kopiervorlage / Eine Grafisch-numerische Applikation (GNA) für den Voyage 200 und TI-89 Titanium von Texas Instruments.
11 Lernaufträge zum Thema Kreisberechnungen. Gefragt wird nach Lagebeziehungen, Sekante, Tangente, Passante, Schnittpunktbestimmung, Geraden-Ortsvektor, Tangentengleichung, Koordinatengleichung, Peripheriepunkt, Mittelpunkt des Kreises usw.

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Veröffentlicht auf der Homepage des Verlages am 30.10.2004.
Verlag: Schumanns Verlagshaus Sangerhausen 2004.

© Frank Schumann 2006 (vormals Schumanns Verlagshaus Wertheim)

Kopiervorlage / Eine Grafisch-numerische Applikation (GNA) für den Voyage 200 und TI-89 Titanium von Texas Instruments.
Mittels eines Geometrieprogramms wurde innerhalb eines kartesischen Koordinatensystems ein Kreis dargestellt. Zu der computerunterstützten Zeichnung liefert das Programm auch die zugehörige Kreis-gleichung. Bestimmen Sie aus der Gleichung die Koordinaten des Mittelpunktes und die Länge des Radius.

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Veröffentlicht auf der Homepage des Verlages am 30.10.2004.
Verlag: Schumanns Verlagshaus Sangerhausen 2004.

© Frank Schumann 2006 (vormals Schumanns Verlagshaus Wertheim)

Reihe: mathe-innovativ
Titel: Erfolgreicher Start mit der TI-83-Serie, Teil 1-3
Variablen, Terme und Funktionen in der Sekundarstufe I und II.
Kopiervorlagen für den TI-83, TI-83 Plus, TI-84 Plus von Texas Instruments.

• Syntax Error: Arithmetik und Dezimalpunkt
• Syntax Error: Arithmetik und Vorzeichen
• Syntax Error: Arithmetik und Klammersetzung
• Fehler in der Klammersetzung
• Divide by 0 Error: Bruchterme und Klammern
• Domain Error: Runden von Zahlen
• Argument Error: Funktionen und Argumente
• Nonreal Ans Error: Wurzeln und negative Zahlen
• Syntax und Argument Error: Funktionen und Syntax
• No sign change Error: Nicht vorhandene Nullstellen
• Zoom Error: bestätigung der Zoom Box Ecken
• Window Range Error: Einstellung des Grafikfensters
• Bound error: Grafisch-numerische Berechnungen und Grenzen
• No sign change Error: Grafisch-numerische Nullstellen und Grenzen
• Invalid Error: Grafikparameter und numerische Eingaben
• Falsche MODE-Einstellungen für trigonometrische Funktionen
• Undefinid Error: Nicht definierte Matrix
• Syntax error: Falsche Eingabe des Matrixnamens
• Dimension Mismatch Error: Falsche Dimensionen von Matrizen

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• Kopiervorlage (PDF 209 KB)

Titel-Reihe in Buchform veröffentlicht am 14.02.2002.
Kopiervorlage veröffentlicht am 24.09.2004 auf der Homepage des math-college-shop.DE
© Frank Schumann 2006 (ehemals Schumanns Verlagshaus Sangerhausen/Wertheim)

• Variationen, Kombinationen und Permutationen
• Zufallsversuch: Würfeln
• Statistische Lage- und Streumaße
• Listendaten grafisch als Boxplot darstellen
• Absolute und relative Häufigkeiten grafisch
• Binomialverteilung und Histogramme
• Kumulierte Binomialverteilung.

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• Kopiervorlage (PDF 219 KB)

Titel-Reihe in Buchform veröffentlicht am 14.02.2002.
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© Frank Schumann 2006 (ehemals Schumanns Verlagshaus Sangerhausen/Wertheim)

• Daten einzeln eingeben, editieren und löschen
• Eine Liste löschen und wiederherstellen
• Listenwerte grafisch darstellen, ergänzen und scannen
• Quadratische Regression
• Lineare Regression.

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Titel-Reihe in Buchform veröffentlicht am 14.02.2002.
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© Frank Schumann 2006 (ehemals Schumanns Verlagshaus Sangerhausen/Wertheim)

• Numerisch Matrizen eingeben
• Eine Matrix editieren und erweitern
• Eine Matrix löschen
• Eindeutige Lösung eines linearen Gleichungssystems
• Ein lineares Gleichungssystem lösen
• Unendlich viele oder keine Lösung eines linearen Gleichungssystems
• Matrixmultiplikation und das Kommutativgesetz
• Zeilenoperationen an mumerischen Matrizen
• Ein lineares Gleichungssystem mittels Matrixgleichung lösen.

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• Eine Folge tabellarisch darstellen
• Zinseszinsrechnung
• Kongruenz und Divergenz einer geometrischen Folge
• Eine Folge grafisch darstellen, scannen und eine untere Schranke markieren
• Epsilon Umgebung einer Folge grafisch darstellen
• Heron Iteration
• Summe natürlicher Zahlen
• Folgenkonvergenz und WEB-Grafik
• Folgendivergenz und WEB-Grafik.

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• Arbeiten mit einer Grafik-Datenbank.

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• Geoerdnetes Paar und Punktkoordinaten
• Wertetabellen erstellen und Schnittpunkte tabellarisch abschätzen
• Schnittpunkte numerisch abschätzen
• Tabellarisch Parameterbedeutungen erkunden
• Geometrische Parameterinterpretationen mit Tabellen
• Geradenschnittpunkte mittels Tabellen ermitteln
• Den Schnittpunkt einer verschobenen Normalparabel tabellarisch ermitteln.

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• Grafen einer Kurvenschar zeichnen
• Vertikale Verschiebung einer Normalparabel
• Streckung der Normalparabel
• Verkettete Funktionen grafisch
• Horizontale Verschiebung eines Grafen
• Scheitenpunktberechnungen einer verschobenen Normalparabel.

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• Grafisch integrieren
• Grafen aktualisieren
• Stammfunktionen grafisch
• Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.

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• Grafisch Ableitungswerte anzeigen
• eine Ableitungsfunktion grafisch darstellen
• Tangentengleichung grafisch
• Simulation einer auf einem Intervall definierten Funktion
• Grafen abschnittsweise zeichnen
• grafisch auf Differenzierbarkeit überprüfen.

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• Koordinaten grafisch-numerisch
• Nullstellen grafisch
• Extrempunkte grafisch
• Schnittpunkte grafisch bestimmen.

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• Das Grafikfenster einstellen
• die Grafik boxzoomen
• das Zoomen rückgängig machen
• eine Grafik faktorzoomen und scannen
• eine Grafik schnellzoomen
• den Grafikbildschirm verschieben
• Trigonometrische Funktionen zeichnen
• Umkehrrelation grafisch
• grafische Darstellung der Lösungsmenge einer Ungleichung.

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• Einen Grafikterm speichern
• einen Grafikterm editieren
• einen Grafikterm selektieren und zeichnen.

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Reihe: „CALIF“ – CASIO Lehrerinformation und Lehrerfortbildung.
Mit diesem Einführungsbuch kann im Handumdrehen ein jeder in kurzer Zeit den sicheren Umgang mit dem Algebra FX 2.0 erlernen.
Die umfangreichen Funktionen und Befehle des Algebra FX 2.0 werden an schulrelevanten Beispielen aus dem heutigen Mathematikunterricht der Klassenstufen 5 bis 13 handlungsorientiert präsentiert. Die mehr als 1000 Screendarstellungen und die in einzelnen Handlungsbausteinen eingebetteten Tastenfolgen geben dem Einsteiger die notwendige Orientierung für ein erfolgreiches Erlernen der entsprechenden Bedienungstätigkeiten mit dem Algebra FX 2.0.

• Das Menü System
• Das Menü Numerik-Matrizen
• Das Menü Grafik und Tabellen
• Das Menü Grafik-Tabellen
• Das Menü Computer-Algebra-System (CAS)
• Das Menü Algebra
• Das Menü Tutor
• Das Menü Statistik
• Das Menü Dynamik
• Das Menü Rekursion
• Das Menü Kegelschnitte
• Das Menü Gleichungen
• Häufige Fehlermeldungen
• Übersicht der wichtigsten Befehle.

Dieses Buches ist ein Bestseller unter den Bedienungshandbüchern für Taschenrechner mit einer nahezu fünfstelligen Auflage und hat in Bezug auf Verständnis, Design und Handlungsorientierung Maßstäbe und Standards beim Aufbau nachfolgender Handbücher zu wissenschaftlichen, grafikfähigen und CAS-Taschenrechnern verschiedener Hersteller gesetzt und das Design wird bis heute teilweise kopiert.
Jede Seite des Buches beginnt zur Orientierung mit dem Menü-Icon und einer Überschrift, danach folgt die zumeist mathematische Aufgabenstellung. Der weitere Aufbau zeigt drei Spalten, von denen die erste mittels Schlagworte eine Handlungsorientierung vermitteln soll. In der mittleren Spalte sind sämtliche, zur Lösung der Aufgabe relevanten Bildschirme dargestelt, die jeweils den Endzustand der in der rechten Spalte angegebenen Tastenkombination darstellen. Die dort aufgeführten ausführlichen Kommentare haben das Erlernen der Bedienung, vor allem aber die Orientierung vereinfacht.

Dieses Buch, ebenso wie der beschriebene Taschenrechner, sind leider nicht mehr erhältlich.

© Frank Schumann 2000 (vormals Math-College Hannover, Sangerhausen)