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© 2016 Frank Schumann

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© 2016 Frank Schumann

Quadratische Funktionsgleichungen in der Scheitelform

Eine Funktionsgleichung für das Verschieben, Formen und Spiegeln einer Parabel im kartesischen Koordinatensystem.

Verschieben in y-Richtung

© Frank Schumann 2014

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Was Du hier lernen kannst:

• wie man die Länge von Strecken in räumlichen Figuren auf einem Blatt bestimmen kann
• was rechtwinklige Stützdreiecke sind und wie man sie beim Lösen von Problemen aus der Raumgeometrie effektiv einsetzen kann.

Im Lernvideo werden Längen von Strecken, die sich in räumlichen Figuren befinden, durch maßstabsgetreues Zeichnen bestimmt. Dabei werden drei wichtige Hilfsmittel zum Lösen geometrischer Probleme aus der Raumgeometrie vorgestellt:

• rechtwinklige Stützdreiecke
• Senkrechte Parallelprojektion und
• Körpernetze.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Die Arbeitsblätter können hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei 1 (Quader) zum Video (.GGB, 45 KB)
• Zusatzdatei 2 (Pyramide) zum Video (.GGB, 40 KB)
• Free-Download von GeoGebra

Was Sie hier lernen können:

• wie man eine Gleichung für eine Tangente an der Stelle x_0 bestimmen kann.

Im Lernvideo wird die allgemeine Gleichung einer Tangente t zu einer differenzierbaren Funktion f an der Stelle x_0 hergeleitet. Ein Rechenbeispiel verdeutlicht die Anwendung dieser allgemeinen Tangentengleichung.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei zum Video (.GGB, 7 KB)
• Free-Download von GeoGebra

Was Du hier lernen kannst:

• Wie man aus einem Proportionalitätsfaktor die passende Funktionsgleichung aufstellt
• Wie man proportionale Funktionen bei der Beantwortung naturwissenschaftlicher Prüffragen nutzen kann.

Im Lernvideo wird eine Aufgabe aus dem Anfangsunterricht Physik besprochen. Es geht dabei um den proportionalen Zusammenhang zwischen Masse und Volumen eines Körpers (homogene Masseverteilung sei vorausgesetzt). Es wird einerseits eine Prüffrage gestellt: Ob ein gemessener Körper aus Aluminium besteht oder nicht und zum anderen um die Erzeugung von Wertepaaren deren Punkte auf dem Graphen einer proportionalen Funktion und somit Körper aus Aluminium repräsentieren. Dabei wird der Aufbau der Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion allgemein formal beschrieben.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei zum Video (.GGB, 2 KB)
• Free-Download von GeoGebra

Was Du hier lernen kannst:

• Was versteht man unter einem Parameter?
• Welchen Einfluss hat der Parameter „Steigung“ auf den Graphen einer linearen Funktion?
• Welchen Einfluss hat der Parameter „Ordinatenabschnitt“ auf den Graphen einer linearen Funktion?

Im Lernvideo werden die beiden Parameter: „Steigung“ und „Ordinatenabschnitt“ linearer Funktionen sowie der Begriff „allgemeine Form linearer Funktionsgleichungen“ eingeführt. Es folgen zwei Aufgaben zur Untersuchung des Einflusses der beiden Parameter m und n auf den Graphen der jeweiligen linearen Funktionen. GeoGebra-Arbeitsblätter unterstützen mit ihren interaktiven Anwendungsmöglichkeiten die Lösungen der beiden experimentellen Aufgaben.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Die Arbeitsblätter können hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei 1 (beide Parameter) zum Video (.GGB, 7 KB)
• Zusatzdatei 2 (Parameter Steigung) zum Video (.GGB, 6 KB)
• Zusatzdatei 3 (Parameter Ordinatenabschnitt) zum Video (.GGB, 6 KB)
• Free-Download von GeoGebra

Im Lernvideo wird zu Beginn der Begriff der Ungleichung an einer Umfangsaufgabe für ein Rechteck eingeführt. Im Hauptteil werden die Äquivalenzumformungen für Ungleichungen genannt und an einem Beispiel einer Ungleichung ausführlich besprochen. Die Lösungen der Ungleichung werden als Lösungsmenge an der Zahlengerade veranschaulicht. Das Programm GeoGebra wird sowohl in der CAS-Ansicht als auch in der Grafikansicht als unterstützendes Illustrationswerkzeug eingesetzt.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Die Arbeitsblätter können hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei 1 zum Video (.GGB, 4 KB)
• Zusatzdatei 2 (Umfang Rechteck) zum Video (.GGB, 5 KB)
• Free-Download von GeoGebra

In diesem Lern- und Anleitungsvideo wird die Methode des Interpretierens von Formeln am Beispiel der physikalischen Gleichung ρ = m / V besprochen. Die Methode wird in 5 Schritte zerlegt. Diese 5 Schritte können auch auf die Fachsprache Mathematik angewendet werden. Außerdem wird in einem Exkurs das äquivalente Umformen von Gleichungen auf das Umstellen einer Formel angewendet.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei zum Video (.GGB, 5 KB)
• Free-Download von GeoGebra

Im Lern- und Anleitungsvideo wird der Trick für das Zahlenrätsel: „Die magische Truhe“ zunächst mittels numerischer Rechenbausteine mathematisiert und dann mittels Termumformungen im CAS von GeoGebra vereinfacht, sodass ein Term entsteht, dessen sämtliche Werte durch 9 teilbar sind. Mit dieser Erkenntnis wird das Geheimnis des Zahlenrätsels offen gelegt. Das äquivalente Umformen von Termen (von Hand) wird durch das Nennen der Rechengesetze gefestigt und vertieft.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei zum Video (.GGB, 7 KB)
• Free-Download von GeoGebra

Link zum Zahlenrätsel „Die magsiche Truhe“, welches dort auch herunter geladen werden kann (Weiterleitung zum Landesbildungsserver Baden-Württemberg).

Im Lern- und Anleitungsvideo werden Fehlerquellen beim Lösen von Gleichungen mittels äquivalenter Umformungen besprochen. Zu Beginn wird an einer Musteraufgabe gezeigt, wie man das Computer-Algebra-System aus GeoGebra für das kontrollierte Üben zum äquivalenten Umformen von Gleichungen einsetzen kann. Es folgen zwei Schülerdokumentationen, in denen typische Fehler enthalten sind. Aufgabe ist es, die Fehler zu entdecken und zu erklären.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei zum Video (.GGB, 76 KB)
• Free-Download von GeoGebra

Im Lernvideo wird schrittweise gezeigt, wie man mit Formeln aus einer Formelsammlung in Berechnungsaufgaben umgeht.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Die Arbeitsblätter können hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei 1 zum Video (.GGB, 2 KB)
• Zusatzdatei 2 (Flächenformel Trapez) zum Video (.GGB, 8 KB)
• Free-Download von GeoGebra

Das Lösen einer Gleichung mithilfe äquivalenter Umformungen wird an einem Beispiel erläutert. Es werden die Begriffe Gleichung, Lösungsvariable, Grundbereich der Lösungsvariable sowie der Begriff Lösung einer Gleichung eingeführt. Eine einfache lineare Gleichung wird mit der Methode Null-Setzung/Äqivalenzumformungen schrittweise gelöst. Die Schülerinnen und Schüler können ihre Teilrechnungen mithilfe eines CAS-Arbeitsblattes kontrollieren. Am Ende des Lernvideos wird die Probe für die Lösung der Gleichung illustriert.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei zum Video (.GGB, 3 KB)
• Free-Download von GeoGebra

Im Video wird das Umformen von Termen exemplarisch im CAS von Geogebra eingeführt und auf die Rechengesetze: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz der Addition (Multiplikation) rationaler Zahlen zurückgeführt. Zwei Geogebradateien motivieren das Üben zum Umformen von Termen.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Die Arbeitsblätter können hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei 1 (Äquivalente Terme) zum Video (.GGB, 4 KB)
• Zusatzdatei 2 (Terme umformen) zum Video (.GGB, 3 KB)
• Free-Download von GeoGebra

Die Begriffe Term und Termwert werden in diesem Video exemplarisch eingeführt. Durch Anwendungen in Geogebra werden diese Begriffe abgegrenzt und verstärkt.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Die Arbeitsblätter können hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei 1 (Eingabe) zum Video (.GGB, 11 KB)
• Zusatzdatei 2 (Terme) zum Video (.GGB, 3 KB)
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Es wird eine Lehrbuchaufgabe ausführlich besprochen und dafür Geogebra als veranschaulichendes Hilfsmittel verwendet. Weiterhin wird die Aufgabe durch Einführen von Variablen erweitert. Auch dieses Vorgehen wird durch Dynamisierung in Geogebra illustriert.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei zum Video (.GGB, 8 KB)
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Durch ein Simulationsexperiment wird erläutert, was man unter dem Umfang eines Kreises versteht und wie man den Umfang berechnen kann.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei zum Video (.GGB, 19 KB)
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In diesem Video wird ein interaktives Tabellen-CAS-Blatt vorgestellt, welches die Verhältnisgleichung bei Proportionalität unterstützt (eine sinnvolle Alternative zum Dreisatz). An einem einfachen Beispiel wird erläutert, wie man dieses Tabellenblatt bedienen kann.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei zum Video (.GGB, 4 KB)
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In diesem Video werden weitere Merkmale zur Identifikation proportionaler Zuordnungen vorgestellt und erläutert. Es handelt sich dabei um die Merkmale Quotientengleichheit, Ursprungsgerade und Gleichung zur Proportionalität. Es baut auf mein Lernvideo „Proportionale Zuordnung“ auf.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei zum Video (.GGB, 9 KB)
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Es wird die Gleichung zur Berechnung des Kreisflächeninhaltes durch Umlegen von Tortenstücken (Kreissektoren) plausibel gemacht.

Es wird eine einfache trigonometrische Anwendungsaufgabe an rechtwinkligen Dreiecken besprochen. Dabei geht es um die Berechnung der Höhe einer Palme, welche an einem Berghang steht. Begriffe wie Cosinus, Tangens und Steigung werden gefestigt.

Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras werden Flächen- und Raumdiagonale im Quader berechnet.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

• Zusatzdatei zum Video (.GGB, 10 KB)
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Es wird an einer Strahlensatzfigur eine Verhältnisgleichung aus gleichliegenden Strahlenabschnitten zum Strahlensatz, Teil 1 bewiesen.

Aus einem Auftrag zur zentrischen Streckung eines Dreiecks mit einem Eckpunkt als Streckzentrum und dem Streckfaktor k=3 wird der Strahlensatz, Teil 1 exemplarisch formuliert.

Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:

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Reihe: In Mathe einfach besser …
Das Operatormodell, auch Pfeilrechnung genannt, ist vielen Lehrern aus der Einführung in die Bruchrechnung bekannt. Es ist auf Grund seiner Grundstruktur auf viele Bereiche der Schulmathematik anwendbar. Start- und Zielgröße können auch Zahlen sein. Operatoren bestehen aus einem Funktionssymbol und einer Zahl oder Größe …

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Zeitschrift: In Mathe einfach besser… Nr. 2/2005 Seiten 13-21.
Verlag: Schumanns Verlagshaus Wertheim 2005.

© Frank Schumann 2005 (vormals Schumanns Verlagshaus Wertheim)

Reihe: In Mathe einfach besser …
Eine Gleichung dritten Grades lässt sich mit dem Voyage 200 nicht immer symbolisch lösen. Aber es gibt am Rechner Möglichkeiten, mit de
nen man approximierte Lösungen aufzeigen kann. Die vom Rechner gefundenen Näherungslösungen werden anschließend auf verschiedenen Wegen auf ihre Richtigkeit und Bedeutung durch Kontrollrechnungen getestet.
Nach der Rechnerarbeit sind in einer exaktifizierend en Phase die erforderlichen Beweise für die Existenz und Eindeutigkeit der reellen Lösungen unabhängig von allen Rechnerdarstellungen zu führen. Grundlage für die Beweise bilden in unserem folgenden Beispiel Sätze aus Klasse 11, die wir als bekannt voraussetzen dürfen:

• Satz über die Existenz reeller Nullstellen ganzrationaler Funktionen und der
• Nullstellensatz von Bolzano. …

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Zeitschrift: In Mathe einfach besser… Nr. 2/2005 Seiten 2-6.
Verlag: Schumanns Verlagshaus Wertheim 2005.

© Frank Schumann 2005 (vormals Schumanns Verlagshaus Wertheim)

Reihe: In Mathe einfach besser …
Kopiervorlage / Eine Grafisch-numerische Applikation (GNA) für den Voyage 200 und TI-89 Titanium von Texas Instruments.
Wir wissen: Das Rechnen mit Zahlen beruht auf bestimmten Rechengesetzen. Gesetze dieser Art sind zum Beispiel das Kommutativgesetz der Multiplikation reeller Zahlen, das Assoziativgesetz der Addition rationaler Zahlen, das Distributivgesetz ganzer Zahlen u.a.

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Zeitschrift: In Mathe einfach besser… Nr. 1/2006 Seiten 16-24.
Verlag: Schumanns Verlagshaus Wertheim 2006.

© Frank Schumann 2006 (vormals Schumanns Verlagshaus Wertheim)

Reihe: In Mathe einfach besser …
Die erste Lerntechnik, die ich heute vorstellen möchte, richtet sich auf ein schülergerechtes Interpretieren von Sätzen und Regeln aus dem Mathematikunterricht der Mittelstufe und kann von Schülerinnen und Schülern in relativ kurzer Zeit unter Anleitung erlernt und selbstständig auch zuhause praktiziert werden. Durch spezielle Übungen, abgestimmt in drei Stufen, bekommt der Lernende einen weitaus stärkeren inhaltlichen Bezug zu den Sätzen als durch reines Auswendiglernen.

Teil 3:

• Binomische Formeln und Auswendiglernen
• Drei typische Anwendungsaufgaben aus der Schule

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• Zu Teil 1
• Zu Teil 2
• Artikel (PDF 0,2 MB)

Zeitschrift: In Mathe einfach besser… Nr. 1/2006 Seiten 9-15.
Verlag: Schumanns Verlagshaus Wertheim 2006.

© Frank Schumann 2006 (vormals Schumanns Verlagshaus Wertheim)

Reihe: In Mathe einfach besser …
Die erste Lerntechnik, die ich heute vorstellen möchte, richtet sich auf ein schülergerechtes Interpretieren von Sätzen und Regeln aus dem Mathematikunterricht der Mittelstufe und kann von Schülerinnen und Schülern in relativ kurzer Zeit unter Anleitung erlernt und selbstständig auch zuhause praktiziert werden. Durch spezielle Übungen, abgestimmt in drei Stufen, bekommt der Lernende einen weitaus stärkeren inhaltlichen Bezug zu den Sätzen als durch reines Auswendiglernen.

Teil 2:

• Die drei Ebenen eines mathematischen Satzes
• Der Voyage 200, ein nützlicher Helfer und Experte
• Binomische Formeln in Mein-Aussagen

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• Zu Teil 1
• Artikel (PDF 0,2 MB)
• Zu Teil 3

Zeitschrift: In Mathe einfach besser… Nr. 2/2005 Seiten 15-23.
Verlag: Schumanns Verlagshaus Wertheim 2005.

© Frank Schumann 2006 (vormals Schumanns Verlagshaus Wertheim)

Reihe: In Mathe einfach besser …
Wir sind zu Gast in einer Privatstunde im Fach Mathematik, Klassenstufe 11. Anwesende sind Herr Rainer Müller-Herbst, Lehrer für Mathematik und Physik und der Schüler Kai Sperling. Herr Rainer Müller-Herbst wird im laufenden Text abgekürzt mit RMH und Schüler Kai Sperling mit Kai. Herr RMH wiederholt mit Kai das Thema „Lösungsmengen von Gleichungen“.
In Teil 2 kannst du einen einfachen Algorithmus kennen lernen, mit dessen Hilfe man Näherungslösungen sehr genau bestimmen kann.

Teil 1:

• Eine harte Nuss von Gleichung

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• Artikel (PDF 0,2 MB)
• Zu Teil 2

Zeitschrift: In Mathe einfach besser… Nr. 2/2005 Seiten 2-10.
Verlag: Schumanns Verlagshaus Wertheim 2005.

© Frank Schumann 2006 (vormals Schumanns Verlagshaus Wertheim)

Reihe: In Mathe einfach besser …
Kopiervorlage / Eine ComputerAlgebraSystem-Applikation (CAS) für den Voyage 200 und TI-89 Titanium von Texas Instruments.
5 Lernaufträge werden erteilt:

• Wir gestalten eine CAS-Applikation, um mit dieser rechnergestützt die Orthogonalität zweier Vektoren in Spaltenform schnell und einfach überprüfen zu können, hilfreich hierbei ist der When-Befehl.
• Interpretieren Sie die symbolischen Ausgaben der abgebildeten CAS-Applikation. Begründen Sie Ihre Interpretationen.
• Beweisen Sie Aussagen.
• Belegen Sie durch zwei Zahlenbeispiele, dass die Gleichung nicht eindeutig lösbar ist.
• Versuchen Sie zu dem Skalarprodukt eine passende Umkehroperation zu definieren. Welches Problem tritt dabei auf?

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Zeitschrift: In Mathe einfach besser… Nr. 2/2005 Seiten 11-15.
Verlag: Schumanns Verlagshaus Wertheim 2005.

© Frank Schumann 2006 (vormals Schumanns Verlagshaus Wertheim)