Ein grundlegender Gedanke zur Bestimmung von Flächen- und Rauminhalten geht auf den italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri (1598 -1647) zurück. Cavalieri stand in engem wissenschaftlichem Austausch mit Galileo Galilei und entwickelte, ausgehend von älteren geometrischen Verfahren und insbesondere von Keplers Untersuchungen, seine Methode der Indivisiblen.
Die zugehörige Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota war bereits 1627 abgeschlossen und erschien 1635 im Druck.

Der Grundgedanke ist von bemerkenswerter Einfachheit:
Für das Volumen eines Körpers ist seine äußere Gestalt nicht entscheidend, wenn seine Querschnitte in gleicher Höhe jeweils denselben Flächeninhalt besitzen. Werden zwei Körper von Ebenen geschnitten, die parallel zu einer festen Ebene liegen, und sind die entsprechenden Querschnittsflächen in jeder Höhe flächengleich, so besitzen die beiden Körper dasselbe Volumen.

Dies ist der Kern des heute als Cavalierisches Prinzip bezeichneten Satzes. In besonderer Einfachheit zeigt er sich bei Prismen und Zylindern: Haben zwei solcher Körper eine gleich große Grundfläche und dieselbe Höhe, so besitzen sie denselben Rauminhalt. Die historische Formulierung des Prinzips steht dabei im Zusammenhang mit Cavalieris Methode der Indivisiblen, in der ein Körper als aus einer Gesamtheit paralleler Flächenschnitte bestehend gedacht wird.
Die geometrische Vorstellung lässt sich an einem Stapel dünner Platten verdeutlichen. Man denke sich einen Körper aus sehr vielen prismatischen Platten zusammengesetzt. Das Volumen jeder einzelnen Platte ist das Produkt aus dem Flächeninhalt ihrer Grundfläche und ihrer Höhe. Verschiebt man die Platten gegeneinander, ohne ihre Grundflächen oder ihre Höhen zu verändern, so bleibt das Volumen jeder Platte und damit auch das Gesamtvolumen unverändert. Die äußere Gestalt des Körpers kann sich dabei erheblich verändern. Sein Rauminhalt bleibt dennoch derselbe, weil die Querschnittsflächen in den entsprechenden Höhen ihren Flächeninhalt bewahren.

Je dünner die Platten gewählt werden, desto genauer lässt sich auf diese Weise auch ein Körper mit gekrümmter Oberfläche annähern. Ein Stapel gleich großer, möglichst dünner Kreisscheiben kann beispielsweise durch Verschieben der einzelnen Scheiben zu einem schiefen Kreiszylinder geformt werden. Seine Gestalt unterscheidet sich nun deutlich von der eines geraden Zylinders; die entsprechenden Querschnittsflächen besitzen jedoch weiterhin denselben Flächeninhalt. Daher ist auch das Volumen unverändert. Die Verschiebung verändert die Form, nicht aber den Rauminhalt.
In der Grenzbetrachtung wird aus dieser anschaulichen Vorstellung eine exakte mathematische Aussage. Lässt man die Höhe der einzelnen Platten gegen null gehen, so geht die Summe ihrer Volumina in das Integral über die Flächeninhalte der Querschnittsflächen über.
Bezeichnet A(h) den Flächeninhalt des Querschnitts in der Höhe h, so ist das Volumen eines Körpers, der sich über die Höhen 0 bis H erstreckt, gegeben durch

Für zwei Körper mit Querschnittsfunktionen A₁ und A₂ gilt daher, sofern

unmittelbar

Damit erhält die geometrische Anschauung des Cavalierischen Prinzips ihre präzise Fassung in der Integralrechnung. Das Volumen eines Körpers ist durch die Flächeninhalte seiner Querschnitte über seine gesamte Höhe hinweg bestimmt. Zwei Körper können äußerlich völlig verschieden gestaltet sein und dennoch denselben Rauminhalt besitzen – vorausgesetzt, ihre entsprechenden Querschnitte sind in jeder Höhe flächengleich.

Gerade darin liegt die eigentliche Kraft des Cavalierischen Prinzips:
Es löst das Volumen von der sichtbaren Gestalt des Körpers und führt es auf eine Folge von Flächeninhalten zurück. Was zunächst wie eine Aussage über die Form erscheint, erweist sich so als Aussage über die Querschnitte – und in der Sprache der Integralrechnung als eine Aussage über deren kontinuierliche Aufsummierung.

Songtext:
Hörst du das? Klack. Noch eine Platte. Noch eine. Der Turm wächst.
Alles gerade. Alles brav. Darf ich? Was? Die Platte. Welche? Alle.

Eine Platte liegt auf einer Platte, eine dritte oben drauf.
Schicht für Schicht wird aus dem Kleinen langsam ein gewaltiger Turm.
Dann schieb’ ich sie ein wenig – nur ein kleines Stück zur Seite.
Noch ein Stück und noch ein Stück.
Und plötzlich tanzt die ganze Reihe. Der Turm ist schief! Ja. Der kippt! Nein.
Der sieht komplett besoffen aus! Kann sein.
Doch die Platte bleibt dieselbe: gleiche Dicke, gleiche Fläche.
Nur ihr Platz hat sich verändert – und genau da beginnt die Frage:
Was hat sich verändert? Die Lage!
Was ist geblieben? Die Platte! Und das Volumen? Bleibt!

Schieb’ die Platte! Schieb’ – schieb’ – schieb’!
Mach den Turm schräg, doch das Volumen bleibt!
Zwei Körper, gleiche Höh’n! Schnitt für Schnitt: gleiche Flächen!
Auf jeder Höh’ – genau verglichen – gleich große Querschnittsflächen:
Volumen gleich! Cavalieri! So klingt der Trick!

Jetzt kommt der runde Zylinder: Ich bin rund. Das Prisma: Eckig.
Dann seid ihr ja verschieden. Natürlich.
Dann kann das Volumen nicht gleich sein.
Doch. Warum? Schneid mal nach.
Nicht mit Messer. Nur im Kopf.
Auf derselben Höhe ziehen wir die Linie – und schauen, was sie uns zeigt.
Hier die Fläche. Dort die Fläche. Weiter oben? Wieder gleich.
Nicht nur unten. Nicht nur oben. Auf jeder entsprechenden Höhe.
Und wenn beide Körper gleich hoch sind und die Querschnittsflächen auf jeder
entsprechenden Höhe gleich groß sind – dann sagt Cavalieri: Volumen gleich.
Der Taschenrechner schweigt. Was ist los? Ich hab’ heute nichts zu tun.
Die Form hat sich verkleidet – das Volumen nicht.

Rund oder eckig? Egal! Gerade oder schräg? Egal!
Was zählt? Die Höhe! Was noch? Die Querschnittsfläche!
Und sonst? Nichts. Absolut nichts.

Schieb’ die Platte! Schieb’ – schieb’ – schieb’!
Mach den Turm schräg, doch das Volumen bleibt!
Zwei Körper, gleiche Höh’n! Schnitt für Schnitt: gleiche Flächen!
Auf jeder Höh’ – genau verglichen – gleich große Querschnittsflächen:
Volumen gleich! Cavalieri! So klingt der Trick!

Der gerade Turm sagt: Ich seh’ besser aus. Der schiefe Turm: Glückwunsch.
Meine Kanten sind perfekt. Schön. Meine Form ist elegant. Sehr schön.
Und du? Ich hab’ dasselbe Volumen. Stille.
Der Mathelehrer lächelt. Denn die Form kann tanzen, die Form kann sich drehen,
sie kann schräg durch den Raum wie ein betrunkener Satellit schweben.
Doch wir schauen tiefer. Wir nehmen gleiche Höhen.
Wir vergleichen die Schnitte. Und wenn auf jeder dieser Höhen die Querschnittsflächen übereinstimmen, dann ist es entschieden: gleiches Volumen.

Zwei Körper! Gleiche Höhe!
Auf jeder entsprechenden Höhe: gleich große Querschnittsfläche!
Und dann? Gleiches Volumen! Cavalieri!
Der Turm sieht besoffen aus – aber die Mathematik ist nüchtern.

Schieb’ die Platte! Schieb’ – schieb’ – schieb’!
Mach den Turm schräg, doch das Volumen bleibt!
Zwei Körper, gleiche Höh’n! Schnitt für Schnitt: gleiche Flächen!
Auf jeder Höh’ – genau verglichen – gleich große Querschnittsflächen:
Volumen gleich! Rund oder eckig? Gerade oder schräg?
Wenn die Bedingungen stimmen, ist das Volumen gleich!
Cavalieri! Cavalieri! Cavalieri! Jetzt sitzt der Trick!
Der Turm darf schief sein. Die Mathematik nicht.

Klack. Eine Platte. Schieb’. Noch eine. Schieb’.
Der Turm wird schräg. Na und?
Zwei Körper. Gleiche Höhe.
Querschnitt für Querschnitt – auf jeder entsprechenden Höhe gleich große Fläche.
Und dann? Volumen gleich. Cavalieri.
Schieb’ – schieb’ – schieb’! Der Turm darf schief sein.
Die Mathematik nicht.

Copyright:
Artist: Jens K. Carl.
Lyrics: Frank Schumann.
Vocals: AI‑generated voices.
Music: Generated with Suno AI.
© / ℗ 2026 Frank & Jens AI-Songs
Produced with Suno AI.

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