wie man eine Gleichung für eine Tangente an der Stelle x_0 bestimmen kann.
Im Lernvideo wird die allgemeine Gleichung einer Tangente t zu einer differenzierbaren Funktion f an der Stelle x_0 hergeleitet. Ein Rechenbeispiel verdeutlicht die Anwendung dieser allgemeinen Tangentengleichung.
Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:
wie man einen Punkt mit zwei Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem zeichnen kann (Wiederholung)
wie man einen Punkt mit drei Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem zeichnen kann
wie man den Abstand eines Punktes P zum Ursprung 0 eines rechtwinkligen Koordinatensystems rechnerisch bestimmen kann.
Im Lernvideo wird die Lage eines Raumpunktes P in einem x-y-z-Koordinatensystem beschrieben. Zusätzlich zu den Erläuterungen im Lehrbuch zum Zeichnen von Punkten mit drei Koordinaten auf Papier unterstützt dieses Video die 3D-Darstellung von Punkten und Strecken im Raum durch verschiedenartige Perspektivwechsel in GeoGebra. Es folgen Hinweise zur Lösung der Frage: Wie bestimmt man den Abstand eines Raumpunktes P zum Ursprung O des x-y-z-Koordinatensystems?
Hierzu wird von mir die Mathematiksoftware Geogebra ab Version 5 genutzt. Das Arbeitsblatt kann hier herunter geladen werden:
wie man ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit dem Einsetzungsverfahren ohne Taschenrechner lösen kann
wie man eine Probe durchführt
was man unter einer Lösungsmenge eines LGS versteht
eine Fallunterscheidung für Lösungsmengen von LGS des Typs (2×2)
Im Lernvideo wird zu Anfang ein LGS vom Typ (2×2) mittels Einsetzungsverfahren ohne Taschenrechner gelöst. Die vermutlich existierende Lösung wird durch eine Probe am LGS bewiesen. Die Lösungsmenge wird notiert. Weitere Arten von Lösungsmengen werden in Geogebra exemplarisch beschrieben. Am Ende folgt eine Übersicht als Zusammenfassung.
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die Idee des Linearisierens einer Funktion an einer Stelle aus dem Definitionsbereich der Funktion,
Grenzübergang für den Differenzenquotienten für h gegen null,
was man unter der Ableitung einer Funktion an einer Stelle aus dem Definitionsbereich versteht,
was man unter der Tangente einer Funktion an einer Stelle aus dem Definitionsbereich versteht.
Im Lernvideo wird der Begriff der lokalen Steigung einer Funktion, die sich an der Stelle x null unter dem „Graphen-Mikroskop“ linearisieren lässt, durch verschiedene Simulationsexperimente in GeoGebra induktiv erarbeitet. Das Tangentenproblem entwickelt sich aus dem Verschwinden der Sekante für h gegen null (numerische Division durch null!). Es folgt eine Definition für die Ableitung f Strich von x null in einer für Lernende der Klassenstufe 10 angemessenen Fachsprache. Eine exakte Definition für den Grenzübergang des Differenzenquotienten für h gegen null ist auf Grund der eingeschränkten Begriffsbildung didaktisch nicht angebracht.
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Ein Lese- und Arbeitsbuch für Schüler ab Klasse 11, Lehrer und Studenten. Mit vielen Applikationen zum Experimentieren mit dem Voyage 200 (auch für den TI-89 und TI-89 Titanium geeignet).
das Beobachten veränderlicher und konstanter Parameter
das Beschreiben eigener Beobachtungen
Eigenschaften von Funktionen und ihren Graphen unter einem „Mikroskop“.
Im Lernvideo (ohne Ton) werden an der Funktion f mit f(x) = 0.1*x² zwei Simulationsexperimente in GeoGebra demonstriert, die das „Erforschen“ zur Linearisierung differenzierbarer Funktionen anschaulich motivieren sollen.
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Wie man aus einem Proportionalitätsfaktor die passende Funktionsgleichung aufstellt
Wie man proportionale Funktionen bei der Beantwortung naturwissenschaftlicher Prüffragen nutzen kann.
Im Lernvideo wird eine Aufgabe aus dem Anfangsunterricht Physik besprochen. Es geht dabei um den proportionalen Zusammenhang zwischen Masse und Volumen eines Körpers (homogene Masseverteilung sei vorausgesetzt). Es wird einerseits eine Prüffrage gestellt: Ob ein gemessener Körper aus Aluminium besteht oder nicht und zum anderen um die Erzeugung von Wertepaaren deren Punkte auf dem Graphen einer proportionalen Funktion und somit Körper aus Aluminium repräsentieren. Dabei wird der Aufbau der Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion allgemein formal beschrieben.
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Welchen Einfluss hat der Parameter „Steigung“ auf den Graphen einer linearen Funktion?
Welchen Einfluss hat der Parameter „Ordinatenabschnitt“ auf den Graphen einer linearen Funktion?
Im Lernvideo werden die beiden Parameter: „Steigung“ und „Ordinatenabschnitt“ linearer Funktionen sowie der Begriff „allgemeine Form linearer Funktionsgleichungen“ eingeführt. Es folgen zwei Aufgaben zur Untersuchung des Einflusses der beiden Parameter m und n auf den Graphen der jeweiligen linearen Funktionen. GeoGebra-Arbeitsblätter unterstützen mit ihren interaktiven Anwendungsmöglichkeiten die Lösungen der beiden experimentellen Aufgaben.
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